Question

已知二次函數(shù)y₁的圖象的頂點(diǎn)是A（2，-3），且經(jīng)過點(diǎn)（1，0）．
（1）求二次函數(shù)y₁的解析式；
（2）說出二次函數(shù)y₁與二次函數(shù)y₂=-（x-1）（x-3）的三個(gè)相同點(diǎn)與三個(gè)不同點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線y₂的頂點(diǎn)為B、若線段AB的垂直平分線交拋物線y₁于點(diǎn)C，交拋物線y₂于點(diǎn)D，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出函數(shù)解析式y(tǒng)₁=a（x-2）²-3，將（1，0）代入求得a的值即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)從對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向等去作比較；
（3）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由線段AB的垂直平分線交拋物線y₁于點(diǎn)C，交拋物線y₂于點(diǎn)D求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求出CD的長．

解答：解：（1）設(shè)y₁=a（x-2）²-3，∵拋物線過點(diǎn)（1，0），
∴a（1-2）²-3=0，∴a=3．
∴二次函數(shù)y₁的解析式y(tǒng)₁=3（x-2）²-3；
（2）相同點(diǎn)：①對稱軸相同；②與x軸的2個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)相同；③都經(jīng)過一，四象限．
不同點(diǎn)：①開口方向不同；②頂點(diǎn)坐標(biāo)不同；③圖象所在的象限不同；
（3）∵B（2，1），∴AB的中垂線為直線y=-1．
∴3（x-2）²-3=-1，
∴x=2±

6

3

，
∴C(2±

6

3

，0)；
同理，D(2±

2

，0)；
∴CD=

2

-

6

3

或

2

+

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，性質(zhì)以及由兩點(diǎn)坐標(biāo)求線段的方法．