Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)P（m，-m）（m≠0）為拋物線上一點(diǎn)，求與P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（注：拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），設(shè)拋物線為頂點(diǎn)式，把點(diǎn)O（0，0）代入即可求解析式；
（2）由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），根據(jù)對(duì)稱性得出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）將點(diǎn)P（m，-m）代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得出-m=-

1

4

（m-2）²+1，解方程求出m的值，得到P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可求出P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+1，
將點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入得：4a+1=0，
解得a=-

1

4

．
所以二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1；

（2）∵拋物線y=-

1

4

（x-2）²+1的對(duì)稱軸為直線x=2，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴△AOB的面積=

1

2

×4×1=2；

（3）∵點(diǎn)P（m，-m）（m≠0）為拋物線y=-

1

4

（x-2）²+1上一點(diǎn)，
∴-m=-

1

4

（m-2）²+1，
解得m₁=0（舍去），m₂=8，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-8），
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，
∴P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-4，-8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．充分利用拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．