(2005•煙臺)(1)如圖1,直線MN與⊙O相交,且與⊙O的直徑AB垂直,垂足為P,過點P的直線與⊙O交于C、D兩點,直線AC交MN于點E,直線AD交MN于點F.求證:PC•PD=PE•PF.
(2)如圖2,若直線MN與⊙O相離.(1)中的其余條件不變,那么(1)中的結論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
(3)在圖3中,直線MN與⊙O相離,且與⊙O的直徑AB垂直,垂足為P.
①請按要求畫出圖形:畫⊙O的割線PCD(PC<PD),直線BC與MN交于E,直線BD與MN交于F.
②能否仍能得到(1)中的結論?請說明理由.

【答案】分析:(1)本題要證的實際是△ECP與△DFP相似.已知對頂角∠CPE=∠DPF,要想證相似就要再找出一組相等的對應角;
連接BD.根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=∠CDB,因此根據(jù)等角的余角相等,即可得出∠PDF=∠DEP;由此可證出△PDF∽△PEC,根據(jù)相似三角形對應線段成比例,即可得出PC•PD=PE•PF.
(2)還成立,證法與(1)大致相同,只不過證三角形相似時,已知的不是對頂角,而是一個公共角.
(3)依然成立,還是通過證△ECP與△DFP相似,來求解.這兩個三角形中已知了一個公共角,按(1)的思路,可連接AC,那么∠D=∠A,而∠A和∠PEB是一組對頂角的余角,因此∠A=∠PEB=∠D,由此可證得兩三角形相似,即可證得(1)的結論.
解答:(1)證明:連接BD
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ADB=90°.
∴∠ADC+∠BDC=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠AEP+∠BAC=90°.
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠ADC=∠AEP.
∵∠DPF=∠EPC,
∴△PDF∽△PEC.

即PC•PD=PE•PF.

(2)解:結論仍然成立.
證明:連接BD.
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ADB=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠ACD=∠PCE,∠ABD=∠ACD,
∴∠PCE+∠BAD=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠PFA+∠BAD=90°.
∴∠PCE=∠PFA.
∵∠EPC=∠FPD,
∴△PCE∽△PFD.
,
∴PC•PD=PE•PF.

(3)解:結論仍然成立.
證明:連接AC.
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°.
∵∠ABC=∠EBP,
∴∠A+∠EBP=90°.
∵MN⊥AB,
∴∠PEB+∠EBP=90°.
∴∠A=∠PEB.
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠PEB.
∵∠DPF=∠EPC,
∴△DPF∽△EPC.

∴PC•PD=PE•PF.
點評:本題主要考查了圓周角定理,相似三角形的判定和性質等知識點;根據(jù)圓周角定理得出的角相等,來證得三角形相似是解題的關鍵.
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