Question

將一個等腰直角三角板放在坐標(biāo)系中，如圖所示，三個頂點坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），將三角板繞A點順時針轉(zhuǎn)α°后，使B點與x軸上的點D（-1，0）重合．
（1）寫出點E的坐標(biāo)和α的值（直接寫出結(jié)果）；
（2）求出過B，C，E三點的拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAD是以AD為腰的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接說出點E的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的角度即可；
（2）將三點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸于x軸交于點F，以D點為圓心，以AD為半徑畫弧，交對稱軸于P₁，P₂，和以A為圓心，以AD為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，過A作AM垂直對稱軸于M，分別求得其點的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）E（-3，1）α=90
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c根據(jù)題意得：

9a-3b+c=1 a+b+c=-1 4a+2b+c=1

解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=-2

∴解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2
（3）存在
①設(shè)拋物線的對稱軸于x軸交于點F，以D點為圓心，以AD為半徑畫弧，交對稱軸于P₁，P₂，
∵拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2的對稱軸為x=-

1

2

∴DF=1-

1

2

=

1

2

∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD=

22+1

=

5

∴FP1=

( 5 )2-( 1 2 )2

=

19

2

∴P₁（-

1

2

，

19

2

）
∵點P₁與點P₂關(guān)于x軸對稱
∴P₂（-

1

2

，-

19

2

）
②以A為圓心，以AD為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，
過A作AM垂直對稱軸于M，同理可求得P₃M=P₄M=

19

2

∴FP₃=FM+MP₃=2+

19

2

∴P₃（-

1

2

，2+

19

2

）
FP₄=MP₄-FM=

19

2

-2
∴P₄（-

1

2

，2-

19

2

）
綜上所述，點P的坐標(biāo)分別為P₁（-

1

2

，

19

2

）、P₂（-

1

2

，-

19

2

）、P₃（-

1

2

，2+

19

2

）、P₄（-

1

2

，2-

19

2

）

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是解決存在性問題時很多時候都采用分類討論的方式確定點的坐標(biāo)．