Question

將拋物線y1=x2向右平移2個單位，得到拋物線y₂的圖象．P是拋物線y₂對稱軸上的一個動點，直線x=t平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線y₂交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=

 

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Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：根據(jù)向右平移，橫坐標(biāo)減表示出拋物線y₂的函數(shù)解析式，然后表示出點A、B的坐標(biāo)，再表示出AB的長度與AP的長度，然后根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可．

解答：解：∵拋物線y₁=x²向右平移2個單位，
∴拋物線y₂的函數(shù)解析式為y=（x-2）²=x²-4x+4，
∴拋物線y₂的對稱軸為直線x=2，
∵直線x=t與直線y=x、拋物線y₂交于點A、B，
∴點A的坐標(biāo)為（t，t），點B的坐標(biāo)為（t，t²-4t+4），
∴AB=|t²-4t+4-t|=|t²-5t+4|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以點A或B為直角頂點的三角形，
∴|t²-5t+4|=|t-2|，
∴t²-5t+4=t-2①或t²-5t+4=-（t-2）②，
整理①得，t²-6t+6=0，
解得t₁=3+

3

，t₂=3-

3

，
整理②得，t²-4t+2=0，
解得t₁=2+

2

，t₂=2-

2

，
綜上所述，滿足條件的t值為：3+

3

或3-

3

或2+

2

或2-

2

，
故答案為：3+

3

或3-

3

或2+

2

或2-

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)拋物線與直線的解析式表示出AB、AP或（BP）的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．