Question

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分別為E、F，請問OF與CD有怎樣的數(shù)量關系？

Answer 1

考點：三角形中位線定理,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理

專題：

分析：連接AO并延長，與⊙O相交于點G，連接BG，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠G=∠ADB，再根據(jù)等角的余角相等求出∠DAE=∠BAG，然后根據(jù)相等的圓周角所對的弦相等可得CD=BG，根據(jù)垂徑定理可得AF=BF，從而得到OF是△ABG的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OF=

1

2

BG．

解答：解：OF=

1

2

CD．
理由如下：如圖，連接AO并延長，與⊙O相交于點G，連接BG，
則∠G=∠ADB，
∵AC⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∵AG是直徑，
∴∠BAG+∠G=90°，
∴∠DAE=∠BAG，
∴CD=BG，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，
∴OF是△ABG的中位線，
∴OF=

1

2

BG，
故OF=

1

2

CD．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，作輔助線構造出以OF為中位線的三角形是解題的關鍵．