Question

有一座拋物線形拱橋，橋的跨度為40米，橋面的最大高度為8米，將它的示意圖放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．
（1）求拋物線的解析式；
（2）現(xiàn)計(jì)劃在橋面上鋪臺(tái)階，臺(tái)階的高度均為0.2米，請(qǐng)計(jì)算從底部開(kāi)始數(shù)的第31級(jí)臺(tái)階的水平寬度（結(jié)果精確到0.01）．
【參考數(shù)據(jù)：≈3.162】．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+c，
∵拋物線過(guò)（0，8）、（20，0），
根據(jù)題意代入，得
解得：
即得拋物線的解析式為y=-x²+8；
（2）設(shè)第30級(jí)臺(tái)階的高度為y₁，第30級(jí)臺(tái)階的高度為y₂，
由題意得：y₁=0.2×30=6m，
y₂=0.2×31=6.2m，
把y₁、y₂分別代入函數(shù)解析式得：，
解得：x₁=±10，x₂=±3，（負(fù)值舍去）
x₁-x₂=10-3=10-3×3.162≈0.51m
即從底部開(kāi)始數(shù)的第31級(jí)臺(tái)階的水平寬度約為0.51米．
分析：（1）根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，8），并且過(guò)（20，0），利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式待定系數(shù)法求它的表達(dá)式即可；
（2）分別計(jì)算出30級(jí)、31級(jí)臺(tái)階的高度y₁，y₂，代入函數(shù)解析式求出橫坐標(biāo)x₁，x₂，x₁-x₂即為31級(jí)臺(tái)階的水平寬度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識(shí)，注意建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度一般．