Question

（2007•宣武區(qū)一模）已知：∠MAN=30°，O為邊AN上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、2為半徑作⊙O，交AN于D、E兩點(diǎn)，設(shè)AD=x．

（1）如圖1，當(dāng)⊙O與AM相切于點(diǎn)F時，求x的值；
（2）如圖2，當(dāng)⊙O與AM相交于B、C兩點(diǎn)，且∠BOC=90°時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）過O作OF⊥AM于F，根據(jù)切線的概念，切線到圓心的距離等于半徑故當(dāng)OF=r=2時，⊙O與AM相切，然后解直角三角形求得AD的值；
（2）過O點(diǎn)作OG⊥AM于G，證得△OBC，△BGO與△CGO是等腰直角三角形，再解直角三角形，求得AD的值．

解答：解：（1）如圖1，連接OF，
∵⊙O與AM相切，
∴OF=r=2，
此時OA=OF÷sin30°=4，
故x=AO-OD=2；

（2）解：如圖2，過O點(diǎn)作OG⊥AM于G
當(dāng)∠BOC=90°，
∵OB=OC=2，
∴BC=2

2

，
又∵OG⊥BC，
∴BG=CG=

2

∴OG=

2

，
∵∠A=30°
∴0A=2

2

，
∴x=AD=AO-OD=2

2

-2．

點(diǎn)評：本題考查了利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，題目的難度不大．