Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，點(diǎn)D在邊OC上，CD=3，過(guò)點(diǎn)D作DB的垂線DE，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)E．
①求二次函數(shù)的解析式和它的對(duì)稱軸；
②如果點(diǎn)M在它的對(duì)稱軸上且位于x軸上方，滿足S_△CEM=2S_△ABM，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵BC∥OA，
∴BC⊥CD，
∵CD=CB=3，
∴∠CDB=45°，
∵BD⊥DE，
∴∠ODE=45°，
∴OE=OD=1，
∴E（1，0）；

（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0），
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)E．
∴，
解之得，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+6x-5，
∴對(duì)稱軸為直線x=3；
②設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，t），
S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE=（4+t）×3-×2×t-×1×4=t+4，
（�。┊�(dāng)點(diǎn)M位于線段BF上時(shí)，S_△ABM=（4-t）×2=4-t，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴t+4=2（4-t），
解得：t=，
∴M（3，）；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M位于線段FB延長(zhǎng)線上時(shí)，S_△ABM=（t-4）×2=t-4，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴t+4=2（t-4），
解得：t=8，
∴M（3，8）．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)，即可求得OE=OD，則可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）①利用待定系數(shù)法，由二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)E，即可求得二次函數(shù)的解析式，則可求得對(duì)稱軸方程；
②由S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE，分別從當(dāng)點(diǎn)M位于線段BF上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)M位于線段FB延長(zhǎng)線上時(shí)分析即可求得答案，注意不要漏解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．