Question

若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積相等，則稱此三角形為“和諧直角三角形”，求“和諧直角三角形”的三邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：

分析：設(shè)直角三角形兩直角邊分別為x、y，利用勾股定理表示出斜邊，再根據(jù)三角形的周長和面積相等列出方程整理得到x、y的關(guān)系式，再根據(jù)x、y都是正整數(shù)討論求解．

解答：解：設(shè)直角三角形兩直角邊分別為x、y，
由勾股定理得，斜邊=

x2+y2

，
∵周長與面積相等，
∴x+y+

x2+y2

=

1

2

xy，
∴

x2+y2

=

1

2

xy-x-y，
兩邊平方得，x²+y²=

1

4

x²y²+x²+y²+2xy-x²y-xy²，
∴y=

4(x-2)

x-4

，
∵x、y都是正整數(shù)，
∴x=5時(shí)，y=12，斜邊為13，
x=6時(shí)，y=8，斜邊為10，
x=8時(shí)，y=6，斜邊為10，
x=12時(shí)，y=5，斜邊為13，
故“和諧直角三角形”的三邊長為6、8、10或5、12、13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，三角形的面積，熟記定理并表示出兩直角邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．