Question

19．如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，⊙O的切線BC與AO延長線交于點C．
（1）若⊙O半徑為6cm，用扇形OAB圍成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的底面圓半徑．
（2）求證：AB=BC．

Answer 1

分析 （1）過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根據(jù)題意OE=$\frac{1}{2}$OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，從而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根據(jù)弧長公式求得弧AB的長，然后根據(jù)圓錐的底面周長等于弧長得出2πr=4π，即可求得這個圓錐的底面圓半徑；
（2）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OBC=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠C=30°，從而得出∠BAC=∠C，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，
過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，連接OB，
有折疊可得 OE=$\frac{1}{2}$OD，
∵OD=OA，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，
∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，則∠AOE=60°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，
∴弧AB的長為：$\frac{120×π×6}{180}$=4π，
∴2πr=4π，
∴r=2；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO=90°
∴∠C=30°，
∴∠OAE=∠C，
∴AB=BC．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，弧長的計算，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．