Question

如圖所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx＋b與拋物線交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x₁•x₂的值
⑶分別過M、N作直線l：y=－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．
⑷對(duì)于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：⑴b=1
⑵顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由題知M₁的橫坐標(biāo)為x₁，N₁的橫坐標(biāo)為x₂，設(shè)M₁N₁交y軸于F₁，
則F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而F F₁=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，
另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易證Rt△M₁FF₁∽R(shí)t△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，
故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．
⑷存在，該直線為y=－1．理由如下：
直線y=－1即為直線M₁N_1．
如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,計(jì)算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF
同理MM₁=MF．
那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位線PQ，由中位線性質(zhì)知PQ=（MM₁＋NN₁）=MN，即圓心到直線y=－1的距離等于圓的半徑，所以y=－1總與該圓相切．解析:
此題第（1）問，很簡(jiǎn)單就是代入求值，確定函數(shù)的系數(shù)。
（2）結(jié)合問題將一次、二次函數(shù)組合轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用“根與系數(shù)”的關(guān)系求解。
（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性質(zhì)的運(yùn)用。
（4）用函數(shù)的加減來求距離，梯形中位線。此題綜合性很強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，綜合了代數(shù)、幾何中的重點(diǎn)知識(shí)要學(xué)生有很好的綜合技能才可解決。