Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x軸．它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)求∠BAO的度數(shù)．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②），求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度．

(3)求題(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積S取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(4)如果點(diǎn)P，Q保持題(2)中的速度不變，當(dāng)t取何值時(shí)，PO=PQ，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)∠BAO=60°； (2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒；(3)P（，）；(4)t=時(shí)，PO=PQ．

【解析】

（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度數(shù)即可；
（2）利用圖②中的函數(shù)圖象，求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與路程解決即可；
（3）利用特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積以及配方法解決問(wèn)題；
（4）分兩種情況進(jìn)行列方程解決問(wèn)題．

(1)如圖，

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，則OE=5，BE=5，OA=10，

∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°；

(2)由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了5秒時(shí)，它到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)AB=10，因此點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為10÷5=2個(gè)單位/秒，

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒；

(3)P（10﹣t， t）（0≤t≤5），

∵S=（2t+2）（10﹣t），

=﹣（t﹣）2+ ，

∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值為，

此時(shí)P();

(4)當(dāng)P在AB上時(shí)，根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)得出：

，

解得：t= ，

當(dāng)P在BC上時(shí)， ，

此方程無(wú)解，故t不存在，

綜上所知當(dāng)t=時(shí)，PO=PQ．