Question

如圖，在△ABC中，4AB=5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，F(xiàn)G=FD，連接EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則

AG

FD

的值為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,壓軸題

分析：解題關(guān)鍵是作出輔助線，如解答圖所示：
第1步：利用角平分線的性質(zhì)，得到BD=

5

4

CD；
第2步：延長AC，構(gòu)造一對全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：過點M作MN∥AD，構(gòu)造平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD=

5

4

CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關(guān)系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出

AG

FD

的值．

解答：解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．
∵

BD

CD

=

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB•h

1 2 AC•h

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

5

4

CD．
如右圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連接DM．
在△ABD與△AMD中，

AB=AM ∠BAD=∠MAD AD=AD

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=

5

4

CD．
過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．
∵MN∥AD，
∴

CK

CD

=

CM

AC

=

1

4

，
∴CK=

1

4

CD，
∴KD=

5

4

CD．
∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（對頂角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四邊形DMNG為平行四邊形，
∴MN=DG=2FD．
∵點H為AC中點，AC=4CM，
∴

AH

MH

=

2

3

．
∵MN∥AD，
∴

AG

MN

=

AH

MH

，即

AG

2FD

=

2

3

，
∴

AG

FD

=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題是幾何綜合題，難度較大，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．在解題過程中，需要綜合利用各種幾何知識，例如相似、全等、平行四邊形、等腰三角形、角平分線性質(zhì)等，對考生能力要求較高．