Question

5．已知直線y=-x+6，交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過A點(diǎn)，且與直線y=-x+6交于另一點(diǎn)P．
（1）若P與B點(diǎn)重合，求拋物線的解析式；
（2）若P在第一象限，過PE⊥x軸于E點(diǎn)，PF⊥y軸于F點(diǎn)，當(dāng)四邊形PEOF面積為5，求拋物線的解析式；
（3）若△OAP為等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分別令x、y=0，可求出B、A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）由四邊形PEOF面積為5可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論；
（3）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出△OAP的三條邊，再分類討論相鄰兩邊相等得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=0，則y=6；
令y=0，則-x+6=0，解得：x=6．
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）．
∵P與B點(diǎn)重合，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{6=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=6}\end{array}\right.$．
故當(dāng)P與B點(diǎn)重合，拋物線的解析式為y=x²-7x+6．
（2）結(jié)合題意畫出圖形，如圖1所示．

∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a+6）（0＜m＜6），則有PE=6-m，PF=m．
四邊形PEOF面積=PE•PF=（6-a）×a=5，
解得：a=1，或a=5，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5）或（5，1）．
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，5）時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{5=1+m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-8}\\{n=12}\end{array}\right.$，
此時(shí)拋物線的解析式為y=x²-8x+12；
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，1）時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{1=25+5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-12}\\{n=36}\end{array}\right.$，
此時(shí)拋物線的解析式為y=x²-12x+36．
綜上可知，拋物線的解析式為y=x²-8x+12或者y=x²-12x+36．
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，6-b）．
∵點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（6，0），
∴OP=$\sqrt{^{2}+（6-b）^{2}}$，OA=6-0=6，PA=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$．
∵△OAP為等腰三角形，
∴分三種情況考慮．
①當(dāng)OP=OA時(shí)，有$\sqrt{^{2}+（6-b）^{2}}$=6，
解得：b=0，或b=6（舍去），
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）．
同（1）一樣，故m=-7；
②當(dāng)OP=PA，即$\sqrt{^{2}+（6-b）^{2}}$=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$，
解得：b=3，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）．
將P（3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{3=9+3m+n}\end{array}\right.$，解得m=-10；
③當(dāng)OA=PA時(shí)，有6=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$，
解得：b=6±3$\sqrt{2}$，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6+3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）或（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．
將P（6+3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），A（6，0）代入拋物線解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{-3\sqrt{2}=54+36\sqrt{2}+（6+3\sqrt{2}）m+n}\end{array}\right.$，解得m=-3$\sqrt{2}$-13；
將P（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），A（6，0）代入拋物線解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{3\sqrt{2}=54-36\sqrt{2}+（6-3\sqrt{2}）m+n}\end{array}\right.$，解得m=3$\sqrt{2}$-13．
綜上可知：當(dāng)△OAP為等腰三角形，m的值為-7，-10，-3$\sqrt{2}$-13和3$\sqrt{2}$-13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、長方形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用長方形的面積找出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由兩點(diǎn)間的距離公式分類討論相鄰兩邊相等的情況．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度也不大，單運(yùn)算過程很繁瑣，這就需要極大的耐心一步步運(yùn)算．