Question

如圖，AB、CD為弦，AB⊥CD于點(diǎn)P．求PA²+PB²+PC²+PD²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理得AM=BM，CN=DN，再表示出PA=AM-PM=MB-PM，PB=PM+BM，PD=DN-PN=CN-PN，PC=PN+CN，所以PA²+PB²+PC²+PD²，整理得2（BM²+PM²+CN²+PN²），接著利用四邊形OMPN為矩形得到PN=OM，PM=ON，則PA²+PB²+PC²+PD²=2（BM²+ON²+CN²+OM²），然后根據(jù)勾股定理得到BM²+OM²=OB²=r²，CN²+ON²=OC²=r²，于是PA²+PB²+PC²+PD²=2（r²+r²）=4r²．

解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
則AM=BM，CN=DN，
∵PA=AM-PM=MB-PM，PB=PM+BM，
PD=DN-PN=CN-PN，PC=PN+CN，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=（MB-PM）²+（PM+BM）²+（CN-PN）²+（PN+CN）²=2（BM²+PM²+CN²+PN²），
∵AB⊥CD，
∴四邊形OMPN為矩形，
∴PN=OM，PM=ON，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=2（BM²+PM²+CN²+PN²）=2（BM²+ON²+CN²+OM²），
而BM²+OM²=OB²=r²，CN²+ON²=OC²=r²，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=2（r²+r²）=4r²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理．