Question

1．如圖1，平面直角坐標(biāo)系x0y中，點A（0，2），B（1，0），C（-4，0）點D為射線AC上一動點，連結(jié)BD，交y軸于點F，⊙M是△ABD的外接圓，過點D的切線交x軸于點E．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）當(dāng)點D在線段AC上時，
①證明：△CDE∽△ABF；
②如圖2，⊙M與y軸的另一交點為N，連結(jié)DN、BN，當(dāng)四邊形ABND為矩形時，求tan∠DBC；
（3）點D在射線AC運動過程中，若$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{DE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 讀題知（1）已知三個點的坐標(biāo)，可以求出相應(yīng)線段的長度，運用三角函數(shù)可以證明∠ACO=∠BAO，進一步證明∠BAC=90°；
（2）只需證明∠CDE=∠ABD，∠DCE=∠BAF，即可證明相似；
當(dāng)四邊形ABND為矩形時，根據(jù)直角三角形AOB和直角三角形ABN相似，可求AN長度，進一步求出OM，運用三角函數(shù)求解即可；
（3）根據(jù)點D在線段AC上，和線段AC的延長線上分別討論求解．

解答 解：由點A（0，2），B（1，0），C（-4，0）可知：OA=2，OC=4，OB=1，
在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理可求：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（1）在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，所以∠ACO=∠BAO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BAO+∠CAO=90°，∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）①由（1）知：∠BAC=90°，∴BD是圓M的直徑，
∵DE是圓M的切線，∴∠BDE=90°．
∴∠CDE+∠ADB=90°，又∠ADB+∠ABD=90°，∴∠CDE=∠ABD，
∵∠DCE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAF=90°，∴∠DCE=∠BAF
∴△CDE∽△ABF．
②當(dāng)四邊形ABND為矩形時，∵∠ABN=90°，∴AN是圓的直徑，由OB是直角三角形ABN的斜邊上的高線，由∠BAO=∠BA0，∠BOA=∠ABN=90°，
∴△AOB∽△ABN，
∴$\frac{AB}{AN}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴AB²=OA×AN，
∵OA=2，AB=$\sqrt{5}$，可求：AN=$\frac{5}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$，OM=MN-ON=$\frac{3}{4}$，
在直角三角形OBN中，
tan∠DBC=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{3}{4}$．
（3）若點D 在線段AC上，
如圖2：由①知△CDE∽△ABF可得：$\frac{DE}{BF}=\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，AC=2$\sqrt{5}$，
由$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，可得：CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
在直角三角形ABD中，由勾股定理可求：BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，
∴△BFO∽△BED，
∴$\frac{OF}{ED}=\frac{OB}{BD}$，
設(shè)：DE=2x，則BF=3x，由勾股定理得：OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{（3x）^{2}-1}}{2x}=\frac{1}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$，解得：x=$\frac{5\sqrt{5}}{33}$，
∴DE=$\frac{10\sqrt{5}}{33}$，BF=$\frac{5\sqrt{5}}{11}$，DF=BD-DF=$\frac{40\sqrt{5}}{33}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{4}$，

若點D在線段AC的延長線上，
如圖3：∵DE是圓M的切線，
∴∠BDE=90°
∴∠EDC+∠CDB=90°
∵∠ABD+∠CDB=90°
∴∠EDC=∠ABD，
∵∠DEB+∠DBE=90°，∠DBE+∠OFB=90°
∴∠DEB=∠OFB，
∴△CDE∽△ABF，可得：$\frac{DE}{BF}=\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，AC=2$\sqrt{5}$，
由$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，可得：CD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，∴AD=AC+CD=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{365}}{3}$，
∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，
∴△BFO∽△BED，
∴$\frac{OF}{ED}=\frac{OB}{BD}$，
設(shè)：DE=2x，則BF=3x，
由勾股定理得：OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-1}$，
∴$\frac{\sqrt{（3x）^{2}-1}}{2x}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{365}}{3}}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{365}}{57}$，
∴DE=2x=$\frac{2\sqrt{365}}{57}$，BF=3x=$\frac{3\sqrt{365}}{57}$，DF=BD-DF=$\frac{16\sqrt{365}}{57}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{8}$．
綜上所述：$\frac{DE}{DF}$的值是$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{8}$．

                         圖3

點評 此題主要考察二次函數(shù)與圓的綜合性問題，熟練應(yīng)用勾股定理，相似的性質(zhì)和判定，以及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．