Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=6，點D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分線，連接BD并延長與CM交于點E．
（1）求CE的長；
（2）求∠EBC的正切值．

Answer 1

解：（1）在BC延長線上取一點F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，
∵CM是∠ACB的外角平分線，
∴∠ECF=∠ACF=60°，
∴∠ECF=∠ABC，
∴CE∥AB，
∴=，
又∵AD=2CD，AB=6，
∴=，
∴CE=3．

（2）過點E作EH⊥BC于點H．
∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，
∴CH=3，EH=，
又∵BC=6，
∴BH=BC+CH=，
∵∠EHB=90°，
∴tan∠EBC==．
分析：（1）首先證明CE∥AB，則△ABD∽△CED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）過點E作EH⊥BC于點H，在直角△CEH中，利用三角函數(shù)求得CH和EH的長度，即可求得BH的大小，即可求得三角函數(shù)值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)值的求法，求三角函數(shù)值的問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊的問題．