Question

5．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，B，C在直線a上，B是的AC中點(diǎn)，AC=4，分別過點(diǎn)A，C作直線b的垂線，垂足為D，E，F(xiàn)是直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，CF，若AF=CF．
（1）求證：DF=2；
（2）若點(diǎn)G，H分別是AF與CF的中點(diǎn)，試判斷四邊形BGFH的形狀，并說明理由；
（3）若tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，M是DF的中點(diǎn)，連接AM，作NM⊥AM于點(diǎn)M，NM交CF于點(diǎn)N，連接AN，試求∠NAM的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL證明Rt△ADF與Rt△CEF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)菱形的判定進(jìn)行解答即可；
（3）過點(diǎn)N作NP⊥b于點(diǎn)P，利用三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵a∥b，AD⊥b，CE⊥b，
∴AD=CE，∠ADF=∠CEF=90°，AC=DE，
在Rt△ADF與Rt△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC=4，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=2；
（2）四邊形BGFH是菱形：理由：
∵B，G，H分別是AC，AF，CF的中點(diǎn)，
∴BH∥AF，BH=$\frac{1}{2}$AF=GF，
∴四邊形BGFH是平行四邊形，
∵AF=CF，
∴GF=HF，
∴四邊形BGFH是菱形；
（3）過點(diǎn)N作NP⊥b于點(diǎn)P，

∵DF=2，M是DF的中點(diǎn)，
∴DM=MF=1，
∵tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，
∴AD=3，
∴CE=3，AM=$\sqrt{10}$，
∴∠MAD=∠NMP，
∴tan∠NMP=tan∠MAD=$\frac{1}{3}$，
設(shè)NP=x，
∴MP=3x，
∵EF=2，
∴tan∠CFE=$\frac{NP}{FP}=\frac{CE}{FE}=\frac{3}{2}$，
∴$FP=\frac{3}{2}x$，
∴3x=$\frac{3}{2}$x+1，
∴x=$\frac{3}{7}$，
∴MP=$\frac{9}{7}$，
∴MN=$\frac{3\sqrt{10}}{7}$，
∴tan∠NAM=$\frac{3}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定，菱形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，解題關(guān)鍵是根據(jù)HL證明Rt△ADF與Rt△CEF全等，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)．