Question

（2013•邯鄲一模）嘗試探究：
小張在數(shù)學(xué)實踐活動中，畫了一個Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=1，AC=2，再以B為圓心，BC為半徑畫弧交AB于點D，然后以A為圓心以AD長為半徑畫弧交AC于點E，如圖，則AE=

5

-1

；此時小張發(fā)現(xiàn)AE²=AC•EC，請同學(xué)們驗證小張的發(fā)現(xiàn)是否正確．
拓展延伸：
小張利用上圖中的線段AC及點E，接著構(gòu)造AE=EF=CF，連接AF，得到下圖，試完成以下問題：
①求證△ACF∽△FCE
②求∠A的度數(shù)；
③求cos∠A

應(yīng)用遷移：
利用上面的結(jié)論，直接寫出：
①半徑為2的圓內(nèi)接正十邊形的邊長為

5

-1

②邊長為2的正五邊形的對角線的長為

5

+1

．

Answer 1

分析：嘗試探究：首先利用勾股定理計算出AB的長，進而得出AD=AE=

5

-1，再分別求出AE²與AC•EC的值，即可得出答案；
拓展延伸：①利用AE²=AC•EC，得出

AC

AE

=

AE

EC

，進而得出

AC

FC

=

FC

EC

，即可得出△ACF∽△FCE；
②利用△ACF∽△FCE，得出AC=AF，進而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠A的度數(shù)；
③過點F作FM⊥AC交AC于點M，由（1）可知AE=

5

-1，EC=3-

5

，求出ME=

3- 5

2

，以及AM=

5 +1

2

，即可得出cos∠A；
應(yīng)用遷移：①設(shè)AF=AC=2，設(shè)FC=EF=x，利用△ACF∽△FCE，求出即可；
②根據(jù)邊長為2的正五邊形，設(shè)AE=EF=FC=2，△ACF∽△FCE，進而求出即可．

解答：解：嘗試探究：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=

5

，
∴AD=AE=

5

-1，
∵AE²=（

5

-1）²=6-2

5

，AC•EC=2[2-（

5

-1）]=6-2

5

，
∴結(jié)論正確；
故答案為：

5

-1，

拓展延伸：
①∵AE²=AC•EC，
∴

AC

AE

=

AE

EC

，
∵AE=FC，
∴

AC

FC

=

FC

EC

，
又∵∠C=∠C，
∴△ACF∽△FEC，
②∵△ACF∽△FEC，且EF=FC，
∴AC=AF，
∵AE=EF，
∴∠A=∠AFE，
∴∠FEC=2∠A，
∵EF=FC，
∴∠C=2∠A，
∴∠AFC=∠C=2∠A，
∵∠AFC+∠C+∠A=180°，
∴∠A=36°，
③過點F作FM⊥AC交AC于點M，
由（1）可知AE=

5

-1，EC=3-

5

，
∵EF=FC，由②得：AC=AF=2，
∴ME=

3- 5

2

，
∴AM=

5 +1

2

，
∴cos∠A=

AM

AF

=

5 +1

4

；

應(yīng)用遷移：
①∵半徑為2的圓內(nèi)接正十邊形，
∴設(shè)AF=AC=2，設(shè)FC=EF=x，
∵△ACF∽△FCE，
∴

AF

EF

=

FC

EC

，
∴

2

EF

=

EF

2-EF

，
解得：EF=

5

-1，
∴半徑為2的圓內(nèi)接正十邊形的邊長為：

5

-1，
故答案為：

5

-1，
②∵邊長為2的正五邊形，
∴設(shè)AE=EF=FC=2，
∵△ACF∽△FCE，
∴

AF

EF

=

FC

EC

，
∴

AF

2

=

2

AF-2

，
解得：AF=

5

+1，（負值舍去），
∴邊長為2的正五邊形的對角線的長為

5

+1，
故答案為：

5

+1．

點評：此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．