Question

13．我們知道：對于任何實數(shù)x，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；②∵${（x-\frac{1}{3}）^2}$≥0，∴${（x-\frac{1}{3}）^2}$+$\frac{1}{2}$＞0；模仿上述方法解答：求證：
（1）對于任何實數(shù)x，均有：2x²+4x+3＞0；
（2）不論x為何實數(shù)，多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值．

Answer 1

分析 （1）將代數(shù)式前兩項提取2，配方后根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1，即對于任何實數(shù)x，代數(shù)式2x²+4x+3的值總大于0，得證．
（2）證明多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-2的值時，可以證明3x²-5x-1-（2x²-4x-7）＞0．

解答 證明：（1）∵2x²+4x+3
=2（x²+2x）+3
=2（x²+2x+1）+1
=2（x+1）²+1，
又∵對于任何實數(shù)x，（x+1）²≥0，
∴2（x+1）²+1＞0；


（2）∵3x²-5x-1-（2x²-4x-7）
=3x²-5x-1-2x²+4x+7
=x²-x+6
=（x-$\frac{1}{2}$）²+5$\frac{3}{4}$＞0，
∴不論x為何實數(shù)，多項式3x²-5x-1的值總大于2x²-4x-7的值．

點評 此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，靈活應(yīng)用完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．