Question

7．如圖所示，線段AB=6cm，C點(diǎn)從P點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)從B出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C，D運(yùn)動(dòng)到任意時(shí)刻都有PD=2AC，求出P在AB上的位置；
（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，若AQ-BQ=PQ，求PQ的值；
（3）在（1）的條件下，若C，D運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間后恰有AB=2CD，這時(shí)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)在線段PB上運(yùn)動(dòng)，M，N分別是CD，PD的中點(diǎn)，求出MN的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點(diǎn)P在線段AB上的$\frac{1}{3}$處；
（2）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系；
（3）當(dāng)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD=$\frac{1}{2}$AB，故AC+BD=$\frac{1}{2}$AB，所以AP-PC+BD=$\frac{1}{2}$AB，再由AP=$\frac{1}{3}$AB，PC=5cm，BD=10cm，再根據(jù)M是CD中點(diǎn)，N是PD中點(diǎn)可得出MN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=2PC．
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴點(diǎn)P在線段AB上的$\frac{1}{3}$處；

（2）如圖1：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ；
又∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=$\frac{1}{3}$AB=2cm；
當(dāng)點(diǎn)Q'在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
AQ′-AP=PQ′，
所以AQ′-BQ′=PQ=AB=6cm．
綜上所述，PQ=2cm或6cm．

（3）MN的值不變．
理由：如圖2，當(dāng)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∴AC+BD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∴AP-PC+BD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∵AP=$\frac{1}{3}$AB=2cm，PC=5cm，
∵M(jìn)是CD中點(diǎn)，N是PD中點(diǎn)，
∴MN=MD-ND=$\frac{1}{2}$CD-$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．