Question

如圖，拋物線y=

1

3

x²-x-6交x軸于A、C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B；將拋物線y=

1

3

x²-x-6向上平移

23

4

個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線；若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、BC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．

解答：解：∵y=

1

3

x²-x-6=

1

3

（x-

3

2

）²-

27

4

，
∴由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=

1

3

（x-

3

2

+m）²-

27

4

+

23

4

=

1

3

（x-

3

2

+m）²-1，
它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：（

3

2

-m，-1）；
由y=

1

3

x²-x-6可得：A（-3，0），C（6，0），B（0，-6）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx-6（k≠0），把x=-3，y=0代入，得
-3k-6=0，b=-2，
∴y=-2x-6．
同理直線BC：y=x-6；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，-2（

3

2

-m）-6=-1，解得：m=4；
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上時(shí)，（

3

2

-m）-6=-1，解得：m=-

7

2

；
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，-

7

2

＜m＜4；
又∵m＞0，
∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜4．
故答案是：0＜m＜4．

點(diǎn)評(píng)：考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與幾何變換．由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．