Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4．二次函數(shù)y=-x²+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求

DE

DC

的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點(diǎn)A，代入函數(shù)式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的長(zhǎng)度，由拋物線的對(duì)稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進(jìn)而求得CD，從而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．

解答：解：（1）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴OA=OB•cos30°=2

3

．
∴A（2

3

，0）．（1分）
∵二次函數(shù)y=-x²+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴-(2

3

)2+2

3

b=0．
解得b=2

3

．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2

3

x．（2分）
頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

3

，3）．（1分）

（2）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴AB=2．（1分）
由DE是二次函數(shù)y=-x2+2

3

x的圖象的對(duì)稱軸，
可知DE∥AB，OE=AE．
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

2

．即得DE=1．（1分）
又∵C（

3

，3），∴CE=3．
即得CD=2．（1分）
∴

DE

DC

=

1

2

．（1分）

（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（

3

，n）．
∵OE=

1

2

OA=

3

，CE=3，
∴S△OCE=

1

2

OE•CE=

3

2

3

．（1分）
∴S△POA=

1

2

OA•PE=

1

2

×2

3

|n|=

3 3

2

．
解得n=±

3

2

．（1分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

3

，

3

2

）、P₂（

3

，-

3

2

）．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了直角三角形內(nèi)的三角函數(shù)，拋物線過(guò)一點(diǎn)，即代入求得；通過(guò)拋物線的對(duì)稱軸來(lái)做題，方便快捷，這也考查了靈活的思維；通過(guò)面積的求得，來(lái)求得點(diǎn)的做標(biāo)，只是考查的手段，問(wèn)題考查的思路．