Question

8．已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（-1，0），點C的坐標(biāo)是（0，-3）．在第四象限內(nèi)的拋物線上有一動點D，過D作DE⊥x軸，垂足為E，交BC于點F．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； 
（2）連接AC，AF，若∠ACB=∠FAB，求點F的坐標(biāo)；
（3）在直線DE上作點H，使點H與點D關(guān)于點F對稱，以H為圓心，HD為半徑作⊙H，當(dāng)⊙H與其中一條坐標(biāo)軸相切時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)是（-1，0），點C的坐標(biāo)是（0，-3），可以求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，可得△ABC∽△FBA，從而可以得到BF的長度，根據(jù)B、C兩點可以求得直線BC的解析式，由點F在直線BC上，從而可以求得點F的坐標(biāo)；
（3）由題意可得分兩種情況，一種是與x軸相切，一種是與y軸相切，從而本題得以解決．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)是（-1，0），點C的坐標(biāo)是（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得，b=-2，c=-3，
即拋物線的函數(shù)表達(dá)式是：y=x²-2x-3；
（2）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0），
∵點C的坐標(biāo)是（0，-3），
∴過點B、C的解析式為y=kx+m，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$
解得，k=1，m=-3，
即直線BC的解析式為y=x-3，
設(shè)點F的坐標(biāo)為（m，m-3），
∵∠ACB=∠FAB，∠ABC=∠FBA，
∴△ABC∽△FBA，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BA}$
∵點B的坐標(biāo)為（3，0），點A的坐標(biāo)是（-1，0），點C的坐標(biāo)是（0，-3），
∴BA=3-（-1）=4，BC=$\sqrt{{3}^{2}+|-3{|}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∵直線BC的解析式為y=x-3，點F的坐標(biāo)為（m，m-3），
∴∠EBF=45°，BE=3-m，
∴sin45°=$\frac{BE}{BF}=\frac{3-m}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$
解得，m=$\frac{1}{3}$，
即點F的坐標(biāo)是（$\frac{1}{3}，-\frac{8}{3}$）；
（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），點F的坐標(biāo)為（m，m-3），
則點H的坐標(biāo)為（m，-m²+4m-3），
∴DH=-2m²+6m，
當(dāng)⊙H與x軸相切時，
-2m²+6m=-（-m²+4m-3）
解得，${m}_{1}=\frac{1}{3}，{m}_{2}=3$（舍去）；
當(dāng)⊙H與y軸相切時，
-2m²+6m=m，
解得，${m}_{3}=\frac{5}{2}，{m}_{4}=0$（舍去），
由上可得，點m的值為$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、求拋物線的解析式、求點的坐標(biāo)、分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，能根據(jù)已知拋物線上的點求拋物線的解析式，利用三角形相似解相關(guān)問題、會用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．