Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點(diǎn)A在DG上，連接AE，CG．
（1）求證：AE=CG；
（2）猜想：AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）在其它條件不變的前提下，如果將正方形ABCD按逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖2和圖3）．那么（2）中結(jié)論是否還成立？請(qǐng)選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，然后利用“邊角邊”證明△CDG和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）延長(zhǎng)EA交CG于H，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠3=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再求出∠GHE=90°，根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）圖2，設(shè)EA與CG相交于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，再求出∠CDG=∠ADE，然后利用“邊角邊”證明△CDG和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再求出∠GHE=90°，根據(jù)垂直的定義即可得證；
圖3，與圖2證明方法和思路相同．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：AE⊥CG．
證明：延長(zhǎng)EA交CG于H，
∵△CDG≌△ADE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；

（3）答：（2）中結(jié)論仍然成立．
理由：圖2，設(shè)EA與CG相交于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA+∠5=∠CDG+∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；
圖3，延長(zhǎng)EA交CG于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA-∠5=∠CDG-∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，此類(lèi)題目，求解的關(guān)鍵在于往往利用同一個(gè)思路求解．