【題目】如圖,點P是⊙O外一點,PA切⊙O于點A,AB是⊙O的直徑,連接OP,過點BBCOP交⊙O于點C,連接ACOP于點D

1)求證:PC是⊙O的切線;

2)若PD=cm,AC=8cm,求圖中陰影部分的面積;

3)在(2)的條件下,若點E是弧AB的中點,連接CE,求CE的長.

【答案】(1)證明見解析;

(2)陰影部分的面積為;

(3)CE的長是

【解析】(1)連接OC,證明△PAO≌△PCO,得到∠PAO=∠PCO=90 ,證明結論;

(2)證明△ADO∽△PDA,得到成比例線段求出BC的長,根據(jù)S=S半⊙OSACB求出答案;

(3)連接AE,BE,過點BBMCE于點M,分別求出CM和EM的長,求和得到答案.

證明: ⑴如圖,連接OC

PA切⊙OA

∴∠PAO=90.

OPBC,

∴∠AOP=∠OBC,∠COP=∠OCB

OC=OB

∴∠OBC=∠OCB

∴∠AOP=∠COP

又∵OA=OC,OP=OP,

∴△PAO≌△PCO (SAS).

∴∠PAO=∠PCO=90 ,

又∵OC是⊙O的半徑,

PC是⊙O的切線.

⑵解法一:

由(1)得PAPC都為圓的切線,

PA=PC,OP平分∠APC,∠ADO=∠PAO=90 ,

∴∠PAD+DAO=∠DAO+AOD

∴∠PAD =∠AOD,

∴△ADO∽△PDA

,

AC=8, PD=,

AD=AC=4,OD=3,AO=5,

由題意知OD為△ABC的中位線,

BC=2OD=6,AB=10.

S=S半⊙OSACB=

答:陰影部分的面積為

解法二:

AB是⊙O的直徑,OPBC,

∴∠PDC=∠ACB=90.

∵∠PCO=90 ,

∴∠PCD+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90 ,

即∠PCD=∠OCB

又∵∠OBC =∠OCB,

∴∠PCD=∠OBC,

∴△PDC∽△ACB,

又∵AC=8, PD=

AD=DC=4,PC=

,

CB=6,AB=10,

S=S半⊙O-SACB=

答:陰影部分的面積為

(3)如圖,連接AEBE,過點BBMCE于點M.

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90,

又∵點E的中點,

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45,CM=MB =BE=ABcos45=

EM=

CE=CM+EM=

“點睛”本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算和相似三角形的判定和性質(zhì),靈活運用切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關鍵.

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