Question

如圖已知OB是半徑，弦EF垂直O(jiān)B于H，點(diǎn)A是HF上的一點(diǎn)，BA和⊙O相交于另一點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線和EF的延長線交于點(diǎn)D：
（1）求證：DA=DC；  
（2）當(dāng)DF：EF=1：8，DF=

2

時(shí)，求AB•AC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，構(gòu)建等腰三角形OBC，由等腰三角形的性質(zhì)知∠1=∠2；然后由切線的性質(zhì)及直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)求得∠3=∠4，因?yàn)榈冉菍?duì)等邊，所以DA=DC；
（2）由切割線定理知CD²=DF•DE，所以CD=AD=3

2

；從而求得AF=3

2

-

2

=2

2

，AE=6

2

；最后根據(jù)相交弦定理求得AB•AC=AE•AF=24．

解答：解：（1）連接OC，則有∠1=∠2（1分），
又CD是切線，∴OC⊥CD，（1分）
而∠4與∠1互余，∠3與∠2互余，
∴∠3=∠4，
∴DA=DC（2分）

（2）∵DF=

2

，
∴EF=8

2

（1分），
又∵CD²=DF•DE=

2

•9

2

=18，
∴CD=3

2

=AD（1分）
∴AF=3

2

-

2

=2

2

，AE=6

2

（1分）
∴AB•AC=AE•AF=24．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、相交弦定理、切割線定理．解答該題的關(guān)鍵是通過作輔助線OC，利用圓的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形．