如圖,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60度.點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動;設(shè)點M移動的時間為t秒(0≤t≤10).
(1)點N為BC邊上任意一點,在點M移動過程中,線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由;
(2)點N從點B(與點M出發(fā)的時刻相同)以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動,在什么時刻,梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值;
(3)點N從點B(與點M出發(fā)的時刻相同)以每秒a(a≥2)個單位長的速度沿著射線BC方向(可以超越C點)移動,過點M作MP∥AB,交BC于點P.當(dāng)△MPN≌△ABC時,設(shè)△MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S,求出用t表示S的關(guān)系式,井求當(dāng)S=0時的值.

【答案】分析:(1)菱形被分割成面積相等的兩部分,那么分成的兩個梯形的面積相等,而兩個梯形的高相等,只需上下底的和相等即可.
(2)易得菱形的高,那么用t表示出梯形的面積,用t的最值即可求得梯形的最大面積.
(3)易得△MNP的面積為菱形面積的一半,求得不重合部分的面積,讓菱形面積的一半減去即可.
解答:解:(1)設(shè):BN=a,CN=10-a(0≤a≤10)
因為,點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動,點M移動的時間為t秒(0≤t≤10)
所以,AM=1×t=t(0≤t≤10),MD=10-t(0≤t≤10).
所以,梯形AMNB的面積=(AM+BN)×菱形高÷2=(t+a)×菱形高÷2;
梯形MNCD的面積=(MD+NC)×菱形高÷2=[(10-t)+(10-a)]×菱形高÷2
當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時,
即t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)
所以,當(dāng)t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)時,可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分.

(2)點N從點B以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動,設(shè)點N移動的時間為t,可知0≤t≤5,
因為AB=10,∠BAD=60°,所以菱形高=5,
AM=1×t=t,BN=2×t=2t.
所以梯形ABNM的面積=(AM+BN)×菱形高÷2=3t×5×=t(0≤t≤5).
所以當(dāng)t=5時,梯形ABNM的面積最大,其數(shù)值為

(3)當(dāng)△MPN≌△ABC時,
則△ABC的面積=△MPN的面積,則△MPN的面積為菱形面積的一半為25;
因為要全等必有MN∥AC,
∴N在C點外,所以不重合處面積為×(at-10)2×
∴重合處為S=25-,
當(dāng)S=0時,即PM在CD上,
∴a=2.
點評:本題考查了菱形以及相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì),注意使用兩條平行線間的距離相等等條件.
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1
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2
2
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