Question

20．對于二次函數(shù)y=mx²+（5m+3）x+4m（m為常數(shù)且m≠0）有以下三種說法：
①不論m為何值，函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)（-1，-3）；
②當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)m＜0，x≥-$\frac{67}{26}$時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減��；
判斷真假，并說明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)y=mx²+（5m+3）x+4m，可進(jìn)行變形，得到y(tǒng)═（x²+5x+4）m+3x，只要令x²+5x+4=0，則所得的x的值就與m無關(guān)，從而可以解答本題；
②將m=-1代入函數(shù)解析式，然后分別令x=0和y=0求出相應(yīng)的y值和x的值，即可解答本題；
③根據(jù)拋物線的解析式可以求得對稱軸，然后根據(jù)m＜0，可知在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，然后令對稱軸的值等于-$\frac{67}{26}$，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本題．

解答 解：①是真命題，
理由：∵y=mx²+（5m+3）x+4m=（x²+5x+4）m+3x，
∴當(dāng)x²+5x+4=0時(shí)，得x=-4或x=-1，
∴x=-1時(shí)，y=-3；x=-4時(shí)，y=-3；
∴二次函數(shù)y=mx²+（5m+3）x+4m（m為常數(shù)且m≠0）的圖象一定過定點(diǎn)（-1，-3），
故①是真命題；
②是假命題，
理由：當(dāng)m=-1時(shí)，則函數(shù)為y=-x²-2x-4，
∵當(dāng)y=0時(shí)，-x²-2x-4=0，△=（-2）²-4×（-1）×（-4）=-12＜0；當(dāng)x=0時(shí)，y=-4；
∴拋物線與x軸無交點(diǎn)，與y軸一個(gè)交點(diǎn)，
故②是假命題；
③是假命題，
理由：∵y=mx²+（5m+3）x+4m，
∴對稱軸x=-$\frac{2a}$=-$\frac{5m+3}{2m}$=-$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2m}$，
∵m＜0，x≥-$\frac{67}{26}$時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小，
∴$-\frac{5}{2}-\frac{3}{2m}=-\frac{67}{26}$，得m=$\frac{39}{2}$，
∵m＜0與m=$\frac{39}{2}$矛盾，
故③為假命題；

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．