Question

巳知二次函數(shù)y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．

（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是(4，4)、(4，3)，邊HG位于邊EF的右側．小林同學經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段不能構成平行四邊形)．“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；
（3）如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段能構成平行四邊形)？請說明理由．

Answer 1

（1）令y＝0，由解得；
令x＝0，解得y＝8a．
∴點A、B、C的坐標分別是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，
該拋物線對稱軸為直線x＝3．
∴OA＝2．
如圖①，設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則AM＝1．
由題意得：．
∴，∴∠O′AM＝60°．
∴，即．∴．
（2）若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結論同樣成立．
(Ⅰ)如圖②，設點P是邊EF上的任意一點(不與點E重合)，連接PM．
∵點E(4，4)、F(4，3)與點B(4，0)在一直線上，點C在y軸上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
(Ⅱ)設P是邊FG上的任意一點(不與點G重合)，
∵點F的坐標是(4，3)，點G的坐標是(5，3)．
∴FB＝3，，∴3≤PB<．
∵PC≥4，∴PC>PB．

（3）存在一個正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．
如圖③，∵點A、B時拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上，
∴PA＝PB．
∴當PC＝PD時，線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．
∵點C的坐標是(0，8a)，點D的坐標是(3，－a)．
點P的坐標是(3，t)，
∴PC²＝32＋(t－8a)²，PD²＝(t＋a)²．
整理得7a²－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t²－28．
∵t是一個常數(shù)且t>3，∴Δ＝4t²－28>0
∴方程7a²－2ta＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
顯然，滿足題意．
∵當t是一個大于3的常數(shù),存在一個正數(shù)，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．

解析