Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADC=60°，且BD=

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CD．將△ACD以直線AD為軸做軸對(duì)稱變換，得到△AC′D，連接BC′
（Ⅰ）求證：BC′⊥BC；
（Ⅱ）求∠C的大�。�

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)折疊得到△AC′D≌△ACD，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到C′D=CD，∠ADC′=∠ADC，接著利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)與判定即可證明題目的結(jié)論；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作BC，C′D，BC′的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．由于∠ADC′=∠ADC，即點(diǎn)A在∠C′DC的平分線上，然后利用角平分線的性質(zhì)得到AE=AF．而∠C'BD=90°，∠ABC=45°，可以得到∠GBA=∠C'BC-∠ABC=45°，再利用角平分線的性質(zhì)得到AG=AE，這樣得到AG=AF，則點(diǎn)A在∠GC′D的平分線上，最后利用∠BC′D=30°即可求出∠GC'D的度數(shù)．

解答：證明：（Ⅰ）∵△AC'D是△ACD以AD為軸對(duì)稱變換得到的，
∴△AC′D≌△ACD．
有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC．
∵BD=

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CD，∠ADC=60°，
∴BD=

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C′D，∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°．
取C'D中點(diǎn)P，連接BP，則△BDP為等邊三角形，△BC′P為等腰三角形，
有∠BC′D=

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∠BPD=

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∠BDC′=30°．
∴∠C'BD=90°，
即BC′⊥BC．

（Ⅱ）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作BC，C'D，BC'的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G．
∵∠ADC'=∠ADC，即點(diǎn)A在∠C′DC的平分線上，
∴AE=AF．
∵∠C'BD=90°，∠ABC=45°，
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°，
即點(diǎn)A在∠GBC的平分線上，
∴AG=AE．
于是，AG=AF，則點(diǎn)A在∠GC′D的平分線上．
又∵∠BC′D=30°，有∠GC'D=150°．
∴∠AC′D=

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∠GC′D=75°．
∴∠C=∠AC′D=75°．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．