Question

如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC=2a，PB=a，∠ABC=45°，∠APC=60°，則AP的長是

 

．

Answer 1

考點：勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：過點C作CD⊥AP于D，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PCD=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得PD=

1

2

PC=a，再根據(jù)等邊對等角求出PD=PB=a，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BDP=∠DBP=30°，從而得到∠DBP=∠PCD，根據(jù)等角對等邊可得BD=CD，根據(jù)∠ABC=45°求出∠ABD=15°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BAD=15°，從而得到∠BAD=∠ABD，根據(jù)等角對等邊可得AD=BD，最后根據(jù)AP=AD+PD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．

解答：解：如圖，過點C作CD⊥AP于D，
∵∠APC=60°，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴PD=

1

2

PC=a，
∵PB=a，
∴PD=PB=a，
∴∠BDP=∠DBP，
∵∠BDP+∠DBP=∠APC=60°，
∴∠BDP=∠DBP=30°，
∴∠DBP=∠PCD，
∴BD=CD=

PC2-PD2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
又∵∠ABC=45°，∠DBP=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBP=45°-30°=15°，
∴∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠BAD=∠ABD=15°，
∴AD=BD，
∴AD=BD=CD=

3

a，
∴AP=AD+PD=

3

a+a=（

3

+1）a．
故答案為：（

3

+1）a．

點評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對等角和等角對等邊，作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．