Question

（2013•西寧）如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的關(guān)系式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)E從A開始沿AB向B以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從B開始沿BC向C以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t取何值時(shí)，△BEF的面積最大？
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

4

3

秒時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用三角形面積求出正方形邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）①作F點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F₁，得F₁（4，-

4

3

），經(jīng)過點(diǎn)E、F₁作直線求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②作E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E₁，得E₁（-

4

3

，4），經(jīng)過點(diǎn)E₁、F作直線求出圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵四邊形AOCB為正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴

1

2

a2=8，
∴a=±4
又∵點(diǎn)B在第一象限
點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4），
將點(diǎn)B（4，4）代入y=

k

x

得，k=16
∴反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；

（2）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AE=t，BF=2t
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴S△BEF=

1

2

(4-t)•2t=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△BEF的面積最大；

（3）存在．                              
當(dāng)t=

4

3

時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

4

3

，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，

4

3

）
①作F點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F₁，得F₁（4，-

4

3

），經(jīng)過點(diǎn)E、F₁作直線
由E（

4

3

，4），F(xiàn)₁（4，-

4

3

）代入y=ax+b得：

4 3 a+b=4 4a+b=- 4 3

，
解得：

a=-2 b= 20 3

，
可得直線EF₁的解析式是y=-2x+

20

3

當(dāng)y=0時(shí)，x=

10

3

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

10

3

，0）
②作E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E₁，得E₁（-

4

3

，4），經(jīng)過點(diǎn)E₁、F作直線
由E₁（-

4

3

，4），F(xiàn)（4，

4

3

）設(shè)解析式為：y=kx+c，

- 4 3 k+c=4 4k+c= 4 3

，
解得：

k=- 1 2 c= 10 3

，
可得直線E₁F的解析式是：y=-

1

2

x+

10

3

當(dāng)x=0時(shí)，y=

10

3

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

10

3

），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

10

3

，0）或（0，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值問題等知識(shí)，利用軸對(duì)稱得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．