Question

如圖，在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x²（x＞0）上取點P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點，且以點Q為直角頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是

（3，

3

），（

1

3

3

，

1

3

）

．

Answer 1

分析：由于AH的長度沒有確定，所以只要以點Q為直角頂點的三角形與△AOH相似，那么兩者就有可能全等；當點Q為直角頂點時，若∠POQ=30°或∠POQ=60°時，都符合解題要求，那么可根據(jù)∠POx的度數(shù)求出直線OP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可得點P的坐標．

解答：解：在Rt△AOH中，∠AOH=30°；
由題意，可知：當∠POQ=30°或∠POQ=60°時，以點Q為直角頂點的△POQ與△AOH全等，
故∠POx=60°或∠POx=30°；
①當∠POx=60°時，k_OP=tan60°=

3

，所以，直線OP：y=

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

y= 3 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2= 3 y2=3

，
即：P₁（

3

，3）；
②當∠POx=30°時，k_OP=tan30°=

3

3

，所以，直線OP：y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2= 3 3 y2= 1 3

，
即：P₂（

3

3

，

1

3

）．
故答案：（3，

3

），（

1

3

3

，

1

3

）．

點評：此題的難度并不大，抓住兩個關(guān)鍵條件：①點Q為直角頂點，②以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等；由于題目沒有明確告知AH的長，所以只要兩者相似即可視作全等，這也為解題帶來了很大的便利．