Question

如圖，圓錐形甜筒的母線長(zhǎng)OA為6，AC是底面圓的直徑，底面圓的半徑為3．若一只螞蟻在底面上點(diǎn)A處，在母線OC的中點(diǎn)B處有一粒殘余甜點(diǎn)，螞蟻要沿圓錐側(cè)面吃到甜點(diǎn)，需要爬行的最短距離為

3

5

（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．

解答：解：由題意知，底面圓的直徑AC=6，故底面周長(zhǎng)等于6π．
設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，
根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得，6π=

6nπ

180

，
解得n=180，所以展開(kāi)圖中∠A′OB=90°，
根據(jù)勾股定理求得A′B=

OA′2+BO2

=

62+32

=3

5

，
故答案為：3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面展開(kāi)圖中最短路徑問(wèn)題，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．