Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（8、0），tan∠ABC=

1

2

，△ABC的面積為8，
（1）求：拋物線的解析式；
（2）若動(dòng)直線EF（EF∥x軸），從C點(diǎn)開始，以每秒1個(gè)長度單位的速度向X軸方向平移，與x軸重合時(shí)結(jié)束，并且分別交y軸、線段CB于E、F兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)在線段OB上以每秒2個(gè)長度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)結(jié)束，連接FP，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在t的值，使以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，求當(dāng)t為何值時(shí)，M、P、A、F所圍成的圖形是平行四邊形、等腰梯形和等腰直角三角形？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由于B點(diǎn)坐標(biāo)為（8、0），tan∠ABC=

1

2

，由此可以求出OC的長度，也就求出C的坐標(biāo)，又△ABC的面積為8，由此可以求出線段AB的長度，然后就可以求出A的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）存在，首先可以分別求出BA、AC、BC的長度，同時(shí)也可以用t分別表示BP、BF的長度，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)（2）MF∥AP，同時(shí)BP=2t，BF=4

5

-

5

t，那么AP也可以用t表示，然后分別利用平行四邊形、等腰梯形和等腰直角三角形的性質(zhì)即可的關(guān)于t的方程解決問題．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（8、0），tan∠ABC=

1

2

，
∴OB=8，
而tan∠ABC=

OC

OB

=

1

2

，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面積為8，
∴8=

1

2

×4×AB，
∴AB=4，即OA=OB-AB=8-4=4，
∴A（4，0），
依題意得

0=16a+4b+c 0=64a+8b+c 4=c

，
解之得：a=

1

8

，b=-

3

2

，c=4，
∴y=

1

8

x2-

3

2

x+4；

（2）存在，根據(jù)（1）得BA=4，AC=4

2

，BC=4

5

，
依題意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=

1

2

，
∴EF=2t，∴CF=

5

t，
∴BF=4

5

-

5

t
由△BPF∽△BAC得

4 5 - 5 t

4 5

=

2t

4

，得t₁=

4

3

由△BPF∽△BCA得

4 5 - 5 t

4

=

2t

4 5

化簡，t2=

20

7

所以：t₁=

4

3

，t2=

20

7

；

（3）根據(jù)（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直線AC經(jīng)過A（4，0），C（0，4），那么其解析式為：y=-x+4，
而動(dòng)直線EF（EF∥x軸），從C點(diǎn)開始，以每秒1個(gè)長度單位的速度向x軸方向平移，與x軸重合時(shí)結(jié)束，并且分別交y軸、線段CB于E、F兩點(diǎn)，AC與EF交于點(diǎn)M，M的縱坐標(biāo)為4-t，
∴M的橫坐標(biāo)為t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所圍成的圖形是平行四邊形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=

4

3

；
若M、P、A、F所圍成的圖形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=

12

5

，
若M、P、A、F所圍成的圖形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線的解析式、相似三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．