【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C.一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)D(0,﹣3),與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E,且AD:DE=3:2.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn),求MD+MA的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)先把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x+b中求得b,則一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣3,于是可確定A(﹣6,0),作EF⊥x軸于F,如圖,利用平行線分線段成比例求出OF=4,接著利用一次函數(shù)解析式確定E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣5),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)作MH⊥AD于H,作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,如圖,則D′(0,3),利用勾股定理得到AD=3,再證明Rt△AMH∽R(shí)t△ADO,利用相似比得到MH=AM,加上MD=MD′,MD+MA=MD′+MH,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí),MD+MA的值最小,然后證明Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA,利用相似比求出D′H即可.
解:(1)把D(0,﹣3)代入y=﹣x+b得b=﹣3,
∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣3,
當(dāng)y=0時(shí),﹣x﹣3=0,解得x=﹣6,則A(﹣6,0),
作EF⊥x軸于F,如圖,
∵OD∥EF,
∴==,
∴OF=OA=4,
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,
當(dāng)x=4時(shí),y=﹣x﹣3=﹣5,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣5),
把A(﹣6,0),E(4,﹣5)代入y=ax2+4ax+c得,解得,
∴拋物線解析式為;
(2)作MH⊥AD于H,作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,如圖,則D′(0,3),
在Rt△OAD中,AD==3,
∵∠MAH=∠DAO,
∴Rt△AMH∽R(shí)t△ADO,
∴=,即=,
∴MH=AM,
∵MD=MD′,
∴MD+MA=MD′+MH,
當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí),MD+MA=MD′+MH=D′H,此時(shí)MD+MA的值最小,
∵∠D′DH=∠ADO,
∴Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA,
∴=,即=,解得D′H=,
∴MD+MA的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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【題目】閱讀理解:給定一個(gè)矩形,如果存在另一個(gè)矩形,它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半,則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖矩形是矩形ABCD的“減半”矩形.
請(qǐng)你解決下列問題:
(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為1,2時(shí),它是否存在“減半”矩形?請(qǐng)作出判斷,并請(qǐng)說明理由;
(2)邊長(zhǎng)為的正方形存在“減半”正方形嗎?如果存在,求出“減半”正方形的邊長(zhǎng);如果不存在,說明理由.
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【題目】已知拋物線的解析式是y=x2﹣(k+2)x+2k﹣2.
(1)求證:此拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)若拋物線與直線y=x+k2﹣1的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上,求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】某射擊隊(duì)教練為了了解隊(duì)員訓(xùn)練情況,從隊(duì)員中選取甲、乙兩名隊(duì)員進(jìn)行射擊測(cè)試,相同條件下各射靶5次,成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:
命中環(huán)數(shù) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 |
乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
(1)根據(jù)上述信息可知:甲命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是_____環(huán),乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是______環(huán);
(2)試通過計(jì)算說明甲、乙兩人的成績(jī)誰比較穩(wěn)定?
(3)如果乙再射擊1次,命中8環(huán),那么乙射擊成績(jī)的方差會(huì)變。ㄌ“變大”、“變小”或“不變”)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E為斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP、PE,將△AEP沿著邊PE折疊,折疊后得到△EPA′,當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一,則此時(shí)BP的長(zhǎng)為_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點(diǎn)B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過A,B兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與AC交于另一點(diǎn)Q.
(i)若點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
(ii)取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.試探究是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】閱讀材料,解決問題:
材料1:在研究數(shù)的整除時(shí)發(fā)現(xiàn):能被5、25、125、625整除的數(shù)的特征是:分別看這個(gè)數(shù)的末一位、末兩位、末三位、末四位即可,推廣成一條結(jié)論;末位能被整除的數(shù),本身必能被整除,反過來,末位不能被整除的數(shù),本身也不可能被整除,例如判斷992250能否被25、625整除時(shí),可按下列步驟計(jì)算:
,為整數(shù),能被25整除
,不為整數(shù),不能被625整除
材料2:用奇偶位差法判斷一個(gè)數(shù)能否被11這個(gè)數(shù)整除時(shí),可把這個(gè)數(shù)的奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,看差能否被11整除,若差能被11整除,則原數(shù)能被11整除,反之則不能.
(1)若這個(gè)三位數(shù)能被11整除,則 ;在該三位數(shù)末尾加上和為8的兩個(gè)數(shù)字,讓其成為一個(gè)五位數(shù),該五位數(shù)仍能被11整除,求這個(gè)五位數(shù)
(2)若一個(gè)六位數(shù)p的最高位數(shù)字為5,千位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍,且這個(gè)數(shù)既能被125整除,又能被11整除,求這個(gè)數(shù).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四邊形EFPQ是矩形,點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,點(diǎn)Q、E、F分別在BC、AB、AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合).
(1)當(dāng)AE=8時(shí),求EF的長(zhǎng);
(2)設(shè)AE=x,矩形EFPQ的面積為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值,最大值是多少?
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),將矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB勻速向右運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
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