Question

15．如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，N為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)N分別作NM⊥BC于點(diǎn)M，NQ⊥AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時(shí)間為t（s）．
（1）直線用含t的代數(shù)式表示線段FC的長；
（2）當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，求t的值；
（3）設(shè)△DEF與矩形CMNQ重疊部分的面積為S（S＞0），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)點(diǎn)D開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)（如圖②），以2m/s的速度沿A-C-B的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D同時(shí)停止運(yùn)動，連接NP，將△ANP沿直線NP翻折得到△NPA′，當(dāng)NA′與△DEF的一邊平行時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BC上或在BC的延長線上，且FC=|BC-BF|，BF=2BD由此可解；
（2）利用同角三角函數(shù)列比例式求解；
（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，重疊部分的圖形的面積為0；②當(dāng)4＜t≤8時(shí)，如圖④，重疊部分的圖形為三角形，利用同角三角函數(shù)列比例式求PM、FM的值，代入面積公式化簡；③如圖⑥，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，重疊部分是五邊形PDCHG，利用差求面積；④當(dāng)12＜t＜16時(shí)，如圖⑦，重疊部分的圖形為矩形，直接求即可；
（4）分NA′與EF、ED、DF三邊分別平行三種情況進(jìn)行討論，分別利用勾股定理列式求解．

解答 解：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，BF=2BD=2t，則 FC=BC-BF，即 FC=16-2t    （0＜t＜8）；
 如圖③，當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長線上時(shí)，F(xiàn)C=BF-BC，
即FC=2t-16  （8＜t＜16）；
（2）當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，如圖⑤，F(xiàn)C=2t-16，
∵tan∠B=tan∠EFD，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CQ}{CF}$，即$\frac{12}{16}=\frac{6}{2t-16}$，t=12；
（3）由題意得：BD=t，
①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=0；
②當(dāng)4＜t≤8時(shí)，如圖④，F(xiàn)C=16-2t，
∴MF=8-（16-2t）=2t-8，
∵tan∠B=tan∠PFM，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{MP}{MF}$，即$\frac{12}{16}=\frac{MP}{2t-8}$，
∴MP=$\frac{3（t-4）}{2}$，
∴S=S_△MPF=$\frac{1}{2}$×MP×MF=$\frac{1}{2}$（2t-8）•$\frac{3（t-4）}{2}$=$\frac{3}{2}$（t-4）²；
③如圖⑥，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，重疊部分是五邊形PDCHG，
FC=2t-16，
$\frac{12}{16}=\frac{CH}{2t-16}$，CH=$\frac{3（t-8）}{2}$，
同理：PG=t-8，
∵ED∥AC，
∴$\frac{ED}{12}=\frac{t}{16}$，ED=$\frac{3t}{4}$，
∴EP=$\frac{3t}{4}$-6，
∴S=S_△DEF-S_△EPG-S_△HCF，
S=$\frac{1}{2}$t•$\frac{3t}{4}$-$\frac{1}{2}$（t-8）（$\frac{3t}{4}$-6）-$\frac{1}{2}$（2t-16）•$\frac{3（t-8）}{2}$=-$\frac{3}{2}{t}^{2}+30t-120$；
④當(dāng)12＜t＜16時(shí)，如圖⑦，DC=16-t，
∴S=S_矩形PDCQ=DC•CQ=6（16-t）=-6t+96；
（4）分三種情況：①當(dāng)A′N∥EF時(shí)，如圖8，

點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合
則AP=PC=2t
∴4t=12，t=3；
②當(dāng)A′N∥DF時(shí)，如圖9，AP=A′P=2t，
NG=8，A′G=10-8=2，AG=6，
∴A′P²=GP²+A′G²，
∴（2t）²=（6-2t）²+2²，
t=$\frac{5}{3}$；
③當(dāng)A′N∥DE時(shí)，過P作PH⊥A′N于H，過N作NG⊥AC于G，
PH=NG=8，AG=6，
則NH=PG=2t-6，
∴A′H=10-（2t-6）=16-2t，
在Rt△A′HP中，A′P²=A′H²+HP²，
（2t）²=（16-2t）²+8²，
t=5．
綜上所述，t=3或$\frac{5}{3}$或5．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)和等腰直角三角形平移的問題，從一個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動到兩個(gè)動點(diǎn)，并根據(jù)翻折的性質(zhì)解決問題；同時(shí)在求邊的長度時(shí)，利用同角三角函數(shù)也可以求邊長或表示邊長，比利用相似或勾股定理簡單；