Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于點O、M．對稱軸為直線x=2，以O(shè)M為直徑作圓A，以O(shè)M的長為邊長作菱形ABCD，且點B、C在第四象限，點C在拋物線對稱軸上，點D在y軸負半軸上；
（1）求證：4a+b=0；
（2）若圓A與線段AB的交點為E，試判斷直線DE與圓A的位置關(guān)系，并說明你的理由；
（3）若拋物線頂點P在菱形ABCD的內(nèi)部且∠OPM為銳角時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知（4，0），由拋物線經(jīng)過點O可求得c=0，將c=0，x=4，y=0代入拋物線的解析式可證得：4a+b=0；
（2）如圖1所示：由菱形的性質(zhì)可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可證明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AE⊥DE，從而可證明DE與圓A相切；
（3）如圖2所示．設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，m）．由題意可知點E的坐標(biāo)為（-2，2），設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-4），將x=2代入得y=-4a即m=-4a．由∠OPM為銳角且拋物線的頂點在菱形的內(nèi)部可知-4a＜-2、-4a＞-4$\sqrt{3}$，從而可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵O的坐標(biāo)為（0，0），拋物線的對稱軸為x=2，
∴點M的坐標(biāo)為（4，0）．
∵拋物線經(jīng)過點O，
∴c=0．
將c=0，x=4，y=0代入拋物線的解析式得：16a+4b=0．
整理得：4a+b=0．
（2）DE與圓A相切．
理由：如圖1所示：

∵四邊形ABCD為菱形，
∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，
∴四邊形OAND為矩形．
∴OA=DN=2．
∴DB=OM=4．
∵OM=AD=AB，
∴AD=AB=DB．
∵AE為圓A的半徑，
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．
∴AE⊥DE．
∴DE與圓A相切．
（3）如圖2所示．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，m）．
∵OM為圓A的直徑，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴點E的坐標(biāo)為（2，-2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-4），將x=2代入得y=-4a．
∴m=-4a．
∵∠OPM為銳角，
∴點P在點E的下方．
∴-4a＜-2．
解得：a＞$\frac{1}{2}$．
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴AC=4$\sqrt{3}$．
∵點P在菱形的內(nèi)部，
∴點P在點C的上方．
∴-4a＞-4$\sqrt{3}$．
解得：a＜$\sqrt{3}$．
∴a的取值范圍是$\frac{1}{2}＜a＜\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，依據(jù)腰三角形三線合一的性質(zhì)證得DE⊥AE是解答問題（2）的關(guān)鍵，由拋物線的頂點P在菱形ABCD的內(nèi)部且∠OPM為銳角得出點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是解問題（3）的關(guān)鍵．