Question

如圖， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC邊的中點，連接DE.

（1）求證：DE與⊙O 相切.

（2）若tanC=，DE=2，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接BD、OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵E為BC邊的中點，∴DE=EC，∴∠1=∠C，∵OA=OD，∴∠2=∠A，

∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°，

∴∠ODE =90°，∴OD⊥DE于點D，

∵以AB為直徑的⊙O交AC于點D，∴D是半徑的外端，

∴DE與⊙O 相切.  

(2) ∵∠BDC=90°，E為BC邊的中點，∴ ，∵DE=2，∴BC=4，

在Rt△ABC中，tanC=，

∴AB=BC·=2，

在Rt△ABC中，

AC===6，

又∵△ABD∽△ACB，∴，

即，

∴AD=