Question

19．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的點，且tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，將△CDE沿CE對折，得到△CEF，延長EF交于BC點P，則sin∠EPC=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 設ED=1，則CD=2，由折疊性質(zhì)得：∠DEC=∠CEP，EF=ED=1，CF=CD=2，∠EFC=∠D=90°，得到∠CEP=∠ECP，于是有PC=PE，設PC=PE=x，則PF=x-1，根據(jù)勾股定理可求得CP，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可求得結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D-90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECP，
∵tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，
設ED=1，則CD=2，
由折疊性質(zhì)得：∠DEC=∠CEP，EF=ED=1，CF=CD=2，∠EFC=∠D=90°，
∴∠CEP=∠ECP，
∴PC=PE，
設PC=PE=x，則PF=x-1，
在Rt△PCF中，PC²=PF²+CF²，∴x²=（x-1）²+2²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CP=$\frac{5}{2}$，
sin∠EPC=$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，折疊的性質(zhì)，能夠利用勾股定理和折疊的性質(zhì)構(gòu)造方程是解題的關鍵．