Question

5．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，CE與BF交于點(diǎn)H，連接GH．
（1）當(dāng)E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)到AB，CD的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形EHFG的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）試探究：
①當(dāng)AE，CF滿足什么條件時(shí)，一定有GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD？
②當(dāng)AE，CF滿足什么條件時(shí)，四邊形EHFG是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，易證得△AEG≌△FDG（AAS），可得EG=DG，同理可證得EH=CH，即可得GH是△ECD的中位線，繼而推知四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）①由在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，易證得△AEG≌△FDG（AAS），可得EG=DG，同理可證得EH=CH，即可得GH是△ECD的中位線，繼而證得結(jié)論GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD；
②通過(guò)證明兩組對(duì)邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形．

解答 （1）證明：如圖1，∵ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$DC，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF∥EC，且AF=EC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠GFD，
∵AE=DF，
在△AEG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠GFD}\\{∠AGE=∠FGD}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG=DG，即點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)．
同理：點(diǎn)H是EC的中點(diǎn)．
∴GF=EH．
∴四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）當(dāng)AE=CF時(shí)，一定有GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD．
理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠GFD，
∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=DF，
在△AEG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠GFD}\\{∠AGE=∠FGD}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG=DG，
同理：EH=CH，
∴GH∥DC且GH=$\frac{1}{2}$DC．

②AE=CF=$\frac{1}{2}$AB時(shí)，四邊形EHFG是平行四邊形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四邊形FGEH是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．