Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D，AC=20，BC=15．動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿AB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線(xiàn)，垂足為E、F．

（1）求AB與CD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)矩形PECF的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）以點(diǎn)C為圓心，r為半徑畫(huà)圓，若圓C與斜邊AB有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求r的取值范圍．

Answer 1

（1）25，12；（2）6.25；（3）r=12，15＜r≤20.

試題分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后由面積關(guān)系求出CD的長(zhǎng)；
（2）由相似關(guān)系可以求出PE、CE與t的關(guān)系，矩形PECF的面積最大，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）當(dāng)圓與AB相切時(shí)，r=12，當(dāng)圓與AB相交且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，15＜r≤20.
試題解析：（1）在Rt△ABC中，AC=20，BC=15
∴
又
∴
（2）∵△APE∽△ABC,
∴
∴，即，
同理可求：
設(shè)矩形PECF的面積為S，S="1.2t(20-1.6t)" ，當(dāng)t=6.25時(shí)，S有最大值.
（3）當(dāng)圓與AB相切時(shí)，r=12，當(dāng)圓與AB相交且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，15＜r≤20.
考點(diǎn): 1.勾股定理；2.二次函數(shù)；3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.