Question

9．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A，作正方形A₂B₂C₂C₁，按這樣的規(guī)律下去，第2012個正方形的面積為（　　）

• A． 5•（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁰
• B． 5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²
• C． 5•（$\frac{9}{4}$）²⁰¹²
• D． 5•（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁰

Answer 1

分析 與正方形的性質(zhì)推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，得出對應(yīng)邊成比例求出AB，BA₁，求出邊長A₁C，求出第二個正方形的面積；同理求出第3個、第4個正方形的面積，得出規(guī)律，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵四邊形ABCD，
∴∠DAB=90°，即∠DAO+∠BAA₁=90°，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠BAA₁=∠AOD，
∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{{A}_{1}B}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
根據(jù)OA=1，OD=2，利用勾股定理得：AB=AD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴A₁B=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即A₁C=A₁B+BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴第二個正方形A₁CC₁B₁面積為（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=5•（$\frac{3}{2}$）²，
同理得到第三個正方形A₂B₂C₂C₁面積為[（$\frac{3}{2}$）²×$\sqrt{5}$]²=5•[（$\frac{3}{2}$）²]²，
依此類推，第2012個正方形的面積為[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹¹×$\sqrt{5}$]²=5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²；
故選：B．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計算的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．