Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，點O₁、O₂在BC上，⊙O₁與⊙O₂外切于P，⊙O₁與AB相切于點D，與AC相離，⊙O₂與AC相切于E，與AB相離．
（1）求證：DP∥AC；
（2）設(shè)⊙O₁的半徑為x，⊙O₂的半徑為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）△ADP能否為直角三角形？如果能夠，請求出⊙O₂的半徑；如果不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接O₁D，
∵⊙O₁與AB相切于點D，
∴∠BDO₁=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BO₁D=60°，
∵O₁D=O₁P，
∴∠DPO₁=∠PDO₁，
∵∠DO₁P=∠DPO₁+∠PDO₁=2∠DPO₁，
∴∠DPO₁=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°．
∴∠DPO₁=∠C，
∴DP∥AC；

（2）解：連接O₂E，作AH⊥BC，垂足為H．
∵⊙O₂與AC相切于E，∴∠CEO₂=90°．
∵∠C=30°，PO₂=EO₂=y，∴CO₂=2EO₂=2y，
同理：PO₁=x，BO₁=2x．
在Rt△ABH中，BH=AB•cosB=6•coc60°=3，
∴BC=2BH=6，
∴2x+x+y+2y=6
∴函數(shù)解析式為y=2-x，定義域為：；

（3）解：△ADP能為直角三角形．
當(dāng)∠DPA=90°時，∵DP∥AC，∴∠PAC=90°，
在Rt△APC中，CP==4，
∴y+2y=4，
∴y=，
即⊙O₂的半徑為，
當(dāng)∠DPC=90°時，在Rt△ABP中，同理可求得x=
∴y=2-=，
即⊙O₂的半徑為，
由于∠ADO₁=90°，所以∠ADP不可能為90°．
綜上所述⊙O₂的半徑為或．
分析：（1）連接O₁D，有切線的性質(zhì)和已知條件證明∠DPO₁=30°，再證明∠C=∠B=30°，進(jìn)而證明∠DPO₁=∠C，有同位角相等兩線平行即可證明DP∥AC；
（2）連接O₂E，作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)切線長定理和解直角三角形的知識即可求出求y與x的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出自變量的取值范圍；
（3）△ADP能為直角三角形，此小題需要分當(dāng)∠DPA=90°時；當(dāng)∠DPC=90°時；當(dāng)∠ADP=90°時，三種情況分別討論，根據(jù)已知條件求出滿足題意的半徑值即可．
點評：本題綜合考查了兩圓外切的性質(zhì)、兩平行線的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的運用，題目綜合性強難度大．