Question

如圖，四邊形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，DE⊥CD交邊AB于E，連接CE，若△CDE與四邊形ABCD的面積之比為2：5，則cos∠BCE的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,整式的混合運(yùn)算,三角形的面積

專題：

分析：∠CDE=∠A，∠DEA=∠CED對應(yīng)相等，從而證明△DEC∽△AED．設(shè)S_△CDE=2S，S_梯形ABCD=5S，得出AD=

DE2-AE2

=

5

AE，BE=

CE2-BC2

=4AE，即可得出sin∠BCE=BE：CE的比值，進(jìn)一步得到cos∠BCE的值即為所求．

解答：解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，DF交CE于G，則ADFB是矩形．
∴BF=AD，
∴CF=BC-BF=2AD-AD=AD=BF，即F是BC的中點(diǎn)，
∵FG∥BE，
∴FG是△CBE的中位線，
∴CG=GE，
∵∠CDE=90°，
∴DG是直角△CDE斜邊上的中線，
∴DG=GE，
∴∠GDE=∠GED．
∵GD∥AB，
∴∠GDE=∠DEA．
∴∠GED=∠DEA．
又∵∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC∽△AED．
∴DE：AE=CE：DE．
∴DE²=AE•CE．
延長BA，CD交于點(diǎn)G．
設(shè)S_△CDE=2S，S_梯形ABCD=5S，
∵S_△DEG=2S，
又∵S_△ADG：S_△GBC=AD²：BC²=1：4，
∴S_△ADG：（S_△ADG+5S）=1：4，
∴S_△ADG=

5

3

S，
∴S_△ADE=2S-

5

3

S=

1

3

S，
∴（

AE

DE

）²=

S△ADE

S△CDE

=

1

6

，
∴DE=

6

AE，
∵CE=

DE2

AE

=6AE，
又∵AD=

DE2-AE2

=

5

AE，
∴BC=2

5

AE，
∴BE=

CE2-BC2

=4AE，
∴sin∠BCE=BE：CE=

2

3

，
∴cos∠BCE=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評：考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及求三角函數(shù)值．同時涉及三角形的面積，本題較難．