Question

15．已知：平行四邊形ABCD，點(diǎn)E在AD上，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，tan∠EBC=$\frac{1}{2}$，BE=4，則△CDE的面積為$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)tan∠EBC=$\frac{1}{2}$可設(shè)EF=x，BF=2x，根據(jù)勾股定理求出x的值，進(jìn)而得出EF、BF的長(zhǎng)，由平行四邊形的性質(zhì)判斷出△BCE是直角三角形，故可得出△BEF∽△ECF，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF的長(zhǎng)，故可得出AD的長(zhǎng)，再由等腰三角形的判定定理得出AB=AE，CD=DE，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
∵tan∠EBC=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)EF=x，BF=2x，
∵BE=4，
∴x²+4x²=16，解得x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴△BCE是直角三角形．
∵∠BEF+∠CEF=90°，∠AEF+∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠CEF，∠BEC=∠EFC，
∴△BEF∽△ECF，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{EF}{BF}$，即$\frac{CF}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$，解得CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBF，∠DCE=∠BCE．
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB，∠BCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AE，CD=DE．
∵AB=CD，
∴AE=DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．