Question

如圖，已知AB=3，BC=7，CD=5

2

．且AB⊥BC，∠BCD=135°．點(diǎn)M是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM、DM．點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，則AM+DM的最小值=

4

13

．

Answer 1

分析：作出點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交BC于M，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題可知點(diǎn)M即為所求AM+DM的最小值時(shí)的點(diǎn)M，設(shè)DD′交BM的延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)D′作D′E∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，判斷出△CDN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CN=DN=5，然后求出BN，再判定出四邊形BED′N是矩形，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出BE=D′N，ED′=BN，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交BC于M，則點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)，
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，MD=MD′，
∴AD′=AM+MD，
設(shè)DD′交BM的延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)D′作D′E∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCN=45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∵CD=5

2

，
∴CN=DN=5

2

×

2

2

=5，
∴BN=BC+CN=7+5=12，
∵AB⊥BC，DD′⊥BN，D′E∥BC，
∴四邊形BED′N是矩形，
∴BE=D′N=DN=5，ED′=BN=12，
∴AE=AB+BE=3+5=8，
在Rt△AED′中，AD′=

AE2+ED′2

=

82+122

=4

13

，
即AM+DM的最小值=4

13

．
故答案為：4

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱確定最短路線問題，主要利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出圖形更形象直觀．