Question

11．如圖所示，某古代文物被探明埋于地下的A處，由于點A上方有一些管道，考古人員不能垂直向下挖掘，他們被允許從B處或C處挖掘，從B處挖掘時，最短路線BA與地面所成的銳角是56°，從C處挖掘時，最短路線CA與地面所成的銳角是30°，且BC=20m，若考古人員最終從B處挖掘，求挖掘的最短距離．（參考數(shù)據(jù)：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，$\sqrt{3}$≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)）

Answer 1

分析 作AD⊥BC交CB延長線于點D，執(zhí)行額AD即為文物在地面下的深度．設(shè)AD=x．通過解直角△ABD求得BD=$\frac{x}{tan56°}$；通過解直角△ACD求得CD=$\sqrt{3}$x，由此列出關(guān)于x的方程，通過方程求得AD的長度．最后通過解直角三角形ABD來求AB的長度即可．

解答 解：作AD⊥BC交CB延長線于點D，執(zhí)行額AD即為文物在地面下的深度．
根據(jù)題意得∠DCA=30°，∠ABD=56°．
設(shè)AD=x．
在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，
∴BD=$\frac{AD}{tan∠ABD}$=$\frac{x}{tan56°}$．
在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x=$\frac{x}{tan56°}$+20．
解得x≈18.97，
∴AB=$\frac{AD}{sin56°}$≈$\frac{18.97}{0.83}$≈23．
答：從B處挖掘的最短距離為23米．

點評 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是正切、余弦概念及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以計算．